PIMCO - PImp My COordinates

Datumsübergang

   
   
    


Prinzip des Datumsübergangs

Der Datumsübergang (Wechsel des Bezugssystems) wird in i.d.R. durch die Angabe von Translations-, Rotations- und Skalierungsparametern angegeben. In den üblichen Praxisfällen erfolgt dies über 7 Parameter (3 x Rotation, 3 x Translation und 1 x Skalierung). Häufig werden diese Parameter auch als Helmert-Parameter bezeichnet.

Obwohl der eigentliche Datumsübergang zwischen geozentrischen Koordinaten erfolgt, sind die Bezugssysteme selbst üblicherweise zusätzlich durch Ellipsoide beschrieben, die streng genommen nicht zur Transformation zwischen den Bezugssystemen erforderlich sind. Da jedoch die geozentrischen gegenüber den geographischen Koordinaten in der Praxis nur eine vergleichsweise abstrakte Größe darstellen, wird in PIMCO der Datumsübergang mit Ellipsoiden beschrieben. Die Ellipsoide werden üblicherweise durch die Länge der großen Halbachse und der sogenannten Abplattung, einem abgeleiteten Wert aus beiden Halbachsen, definiert.

Im Zuge der Bestrebungen auf eine Länder-übergreifende Vereinheitlichung des Bezugssystems wird der Datumsübergang zunehmend auf Gitter-basierten Transformationen durchgeführt. Dabei hat sich das ursprünglich für/in Canada entwickelte Vorgehen mit Hilfe des NTv2-Gitters durchgesetzt, welches aus von PIMCO unterstützt wird. Das Prinzip der Gitter-basierten Transformation beruht auf der Definition von Verschiebungswerten für den Datumsübergang an Rasterpunkten. Die Transformation für einen beliebigen Punkt innerhalb des Definitionsbereichs erfolgt dann durch bilineare Interpolation. Auch die NTv2-Gitter beinhalten die Parameter für den Ausgangs- und Zielellipsoid.


Datumsübergang über 7 Parameter


Voreinstellungen

Für die 7-Parameter-Transformation stehen eine Reihe von veröffentlichten, regional gültigen Parametersätzen zur Verfügung. Diese Daten werden bei Programmstart automatisch aus den mitgelieferten Basis-Parametersätzen zur Anwendung bereitgestellt.

Die Wahl eines Parametersatzes erfolgt in der Regel durch Auswahl der Region. Die entsprechenden Transformationsparameter und Bezugs-Ellipsoide werden hierdurch automatisch angezeigt. Alternativ zur Auswahl der Transformationsparameter über die Region kann die Wahl auch über die Datums-Bezeichnung des Ausgangs- oder Ziel-Systems erfolgen.

Es ist möglich die Kopplung der den Parametersätzen zugeordneten Ellipsoide zu lösen. Hierdurch wird die Auswahl der dem Programm beigefügten Ellipsoide freigegeben und kann verändert werden. Ferner kann durch Umstellung der Transformationsvorgehensweise (Typ) die Eingabe aller Parameter manuell vorgenommen werden.


Translation

Die Verschiebung eines Punktes erfolgt in Metern gemäß mathematischer Vorzeichen-Regeln und somit für x positiv in Richtung Osten und für y positiv in Richtung Norden. Die z-Richtung ergibt sich, je nach Betrachtungsrichtung, aus dem Rechtssystem.


Rotation

Rotation: Methode

Die für den Datumsübergang erforderlichen Drehungen bewegen sich in der Praxis für alle drei Achsen im Bereich weniger Milli-Grad, weswegen die Angabe meist in Bogen-Sekunden vorliegt. Daher kann für die Transformation häufig das Prinzip der "kleinen Winkel" angewendet werden, welches meint:

Winkel[rad] = sinus(Winkel).

Da in der Numerik die Anwendung trigonometrischer Funktionen einen nicht unerheblichen Berechnungsaufwand erfordert, führt diese Vereinfachung zu einer deutlichen Beschleunigung der Transformation, insbesondere bei größeren Datenmengen (Höhenmodelle, Rastergrafiken, ...).

Die Berechtigung dieser Vereinfachung für den praktischen Fall lässt sich einfach nachweisen. Bis zu einem Winkel von 50 Bogensekunden - dies entspricht ca. 0.014° und in den üblichen Transformationsparameterdatensätzen einem Wert, der nicht erreicht wird - liegt die Abweichung zwischen dem Winkel und dem Sinus des Winkels bei weniger als 1 x 10-6 Sekunden - dies entspricht am Äquator, einer Distanz von weit unter einem Millimeter:

Rotation: Vorzeichen-Konvention

Bei der Rotation wird in der Regel zwischen "Position Vector Transformation" (PVT) und "Coordinate Frame Rotation" (CFR) unterschieden, wobei insbesondere im europäischen Raum PVT die häufiger gewählte Variante ist.

"Position Vector Transformation"    "Coordinate Frame Rotation"
  
Nach PVT dreht sich bei Draufsicht auf eine Karte (im geographischen Sinne: Osten = x steigend und Norden = y steigend) ein Punkt mathematisch positiv i.S. des Betrachters/der Betrachterin: Vektor dreht, Kartenrahmen bleibt fix.    Umgekehrt dreht nach CFR entsprechend der Kartenrahmen bei Draufsicht um die z-Achse. Somit entspricht CFR der mathematischen bzw. physikalischen Vorzeichenkonvention, da hier ein Rechtssystem ("Rechte-Hand-Regel") nach "Korkenzieher-Regel" dreht.

Bzgl. mathematisch positiver Vorzeichenregel sei in Erinnerung gerufen:

"Rechte-Hand-Regel"   
  
"Korkenzieher-Regel"   
Die "Rechte-Hand-Regel" meint: Erzeuge mit Daumen (x = Osten = positiv), Zeigefinger (y = Norden = positiv) und Mittelfinger (z = Höhe = positiv) der rechten Hand ein rechtwinkliges System, i.S. der Mathematik als "positiv" bezeichnet.    Die "Korkenzieher-Regel" meint: Umfasse mit der rechten Hand eine Achse so, dass der Daumen in aufsteigender Richtung der Achse zeigt. Die anderen Finger, die Achse umfassend, zeigen somit in Richtung einer positiven Drehung, i.S. der Mathematik als "positive Drehung" bezeichnet (Korkenzieher bohrt in den Korken hinein).


Rotation: Einheit

Die Größe der in der Praxis relevanten Drehungen liegt überwiegend bei wenigen Milli-Grad. Um die Genauigkeit bei der Angabe der Drehwinkel ohne viele Nachkomma-Stellen angeben zu können, hat sich die Angabe in Bogen-Sekunden durchgesetzt. Eine Bogensekunde entspricht dem 3600 Teil eines Grads (gleichbedeutend: 1°=3600").

Anmerkung: Die Einheit geographischer Koordinaten in Grad°Minute’Sekunde" (z.B. 7º20’20.5") findet ihren Ursprung in der Seefahrt. So resultiert die Einheit Bogen-Minute, also der 60ste Teil eines Grads, aus der Länge einer nautischen Meile: 360º entsprechen am Äquator ca. 40000 km, demnach 1/60º ca. 1.85 km, was wiederum einer Seemeile entspricht.


Skalierung


Skalierung: Einheit

Üblicherweise erfolgt die Angabe der Skalierung in der Abweichung vom Wert "1" in der Einheit Promille ("scale difference"). Da in der Praxis die Skalierungsfaktoren sehr klein sind, erlaubt diese Vorgehensweise eine relativ hohe Genauigkeit bei gleichzeitiger Minimierung der Anzahl erforderlicher Nachkomma-Stellen.

Beispiel: Ein mathematischer Skalierungsfaktor von 1.00002 entspricht gemäß "scale difference" (in Promille) einem Wert von

        (1.00002-1)*1000000=20.0,

ein Skalierungsfaktor von 0.99998 dem Wert

        (0.99998-1)*1000000=-20.


Skalierung: Methode

Aufgrund der in der Praxis vergleichsweise untergeordneten Bedeutung der richtungsabhängigen Skalierung beim Wechsel zwischen Bezugssystemen, wird für die Skalierung für alle drei Richtungen der gleiche Wert angesetzt (daher neben 3 x Translation und 3 x Rotation nur 1 x Skalierung = 7 Parameter). Die Angabe von richtungsabhängigen Skalierungen (= 9 Parameter) ist nur im Benutzer-definierten Modus möglich.


Richtungswechsel/Parameter-Invertierung

Die Transformation ist generell umkehrbar, so dass auch eine (Rück-)Transformation vom Ziel- ins Ausgangssystem möglich ist. Die Umkehrung kann durch Betätigen des Invertierungs-Button vorgenommen werden.


PIMCO-Basis-Parameter zur 7-Parameter-Transformation

Dem Programm PIMCO liegen einige Parametersätze in Form von dBase-Tabellen bei, die bei korrekter Installation des Programmpakets dynamisch eingebunden werden. Den Bezugssystem-Wechsel betreffend sind dies:

Diese Tabellen können, unter Voraussetzung ausreichender technischer und fachbezogener Kenntnisse, beliebig verändert bzw. erweitert werden. Die Funktionalität von PIMCO ist nicht zwingend an den Basis-Parametersatz gekoppelt.

Hinweise:


Datumsübergang über NTv2-Gitter

Das Prinzip der Gitter-basierten Transformation beruht auf der Definition von Verschiebungswerten für den Datumsübergang an Rasterpunkten. Hierfür wird für die Eckpunkte einer Gitter-Zelle die Translation in Ost- und Nord-Richtung festgelegt, sodass anschließend die Transformation für einen beliebigen Punkt innerhalb des Definitionsbereichs durch bilineare Interpolation erfolgen kann. Dieses Vorgehen reduziert die sonst erforderliche Verschiebung, Rotation und Skalierung für eine Gitter-Zelle auf einen Verschiebungswert in x- und einen Verschiebungswert in y-Richtung. (vgl. Bild: Überführung zwischen "DHDN - Deutsches Haupt-Dreiecks-Netz" nach "ETRS - European Transformation Reference System").

Anmerkung: Die Existenz eines Transformations-Gitters für eine Region gewährleistet keinesfalls per Definition ein qualitativ besseres Ergebnis einer Transformation gegenüber der Anwendung eines regional gültigen 7-Partameter-Datensatzes!


Globale Gitter-Informationen

Ein NTv2-Gitter beinhaltet u.a. die allgemeinen Informationen für einen Datumsübergang: Datums-Bezeichnung, Ellipsoid-Geometrie (jeweils für Ausgangs- und Zielsystem) und Einheit der Verschiebungsdaten. Diese Informationen werden nach Auswahl des Gitters im Dialog angezeigt (s. Bild). Derzeit sind den Programmentwicklern nur NTv2-Grids in der Einheit "Sekunden" (Skalierungsfaktor = 3600) bekannt. Der voreingestellte Skalierungsfaktor muss bei abweichenden Einheiten manuell angepasst werden.


Erweiterte Gitter-Informationen

Neben den Datums-spezifischen Daten können verschiedene weitere Informationen angezeigt werden. Hierbei sind insbesondere der Definitionsbereich und die Gitter-Weite zu nennen. Ein NTv2-Datensatz kann mehrere separate Gitter enthalten (sog. "sub grids"). Nachfolgendes Beispiel aus Australien, das 14 sub grids enthält, zeigt neben den globalen Gitter-Informationen die Angaben zum sub grid Nr. 12. Der Gültigkeitsbereich liegt für die West-Ost-Richtung zwischen 119º15’W und 116º15’W und für die Nord-Süd-Richtung zwischen 21º15’S und 19º15’S.

Anmerkung: Beinhaltet ein NTv2-Gitter mehrere sub grids, erfolgt die Wahl des für einen zu transformierenden Punkt passenden sub grids programmintern.


Richtungswechsel/Parameter-Invertierung

Die Transformation über NTv2-Gitter ist prinzipiell umkehrbar, so dass auch eine (Rück-)Transformation vom Ziel- ins Ausgangssystem möglich ist. Die Umkehrung kann durch Betätigen des Invertierungs-Button vorgenommen werden.


Grundlagen/Literatur

Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV), Projektgruppe Bundeseinheitlicher Transformationsansatz für ATKIS im Arbeitskreis Geotopographis der AdV:
Bundeseinheitliche Transformation für ATKIS (BeTA2007), Version 1.4; 2010

Geodetic Survey Division of Canada:
National Transformation Version 2, Developer’s Guide; 1995